إذا كان فإن ناتج الضرب الداخلي للمتجهين

إذا كان فإن ناتج الضرب الداخلي للمتجهين.
الإجابة الصحيحة هي : -٣٢.

إذا كان فإن ناتج الضرب الداخلي للمتجهين

الضرب الداخلي هو عملية رياضية تجمع بين متجهين وتنتج قيمة عددية. وهو مفيد في العديد من التطبيقات، بما في ذلك الهندسة والفيزياء. في هذا المقال، سوف نستكشف خصائص الضرب الداخلي ونتعلم كيفية استخدامه لحل المسائل.

تعريف الضرب الداخلي

الضرب الداخلي بين متجهين u و v في الفضاء الإقليدي هو عملية رياضية تُرمز لها بالرمز u · v وتُعرَّف على النحو التالي:

u · v = u₁v₁ + u₂v₂ + … + uₙvₙ

حيث u₁ و v₁ هما مكونات المتجه u على المحور x، و u₂ و v₂ هما مكونات المتجه u على المحور y، وهكذا دواليك.

خصائص الضرب الداخلي

توزيعية: (u + v) · w = u · w + v · w

تبادلية: u · v = v · u

ترافقية: (cu) · v = c(u · v) حيث c عدد حقيقي

إيجابية محددة: u · u ≥ 0 لجميع المتجهات u، و u · u = 0 إذا وفقط إذا كان u = 0

عدم التساوي القوقازي: |u · v| ≤ ||u|| ||v|| حيث ||u|| و ||v|| هما معايير المتجهين u و v على التوالي.

متعامدية: u · v = 0 إذا وفقط إذا كان المتجهان u و v متعامدين.

تطبيع: إذا كان ||u|| = ||v|| = 1، فإن u · v هو جيب الزاوية θ بين المتجهين u و v:

u · v = cos(θ)

تطبيقات الضرب الداخلي

إيجاد طول المتجه: ||u|| = √(u · u)

إيجاد الزاوية بين متجهين: θ = arccos(u · v / (||u|| ||v||))

إسقاط متجه على آخر: projᵥ u = (u · v / ||v||²) v

أمثلة

إذا كان u = (1, 2, 3) و v = (4, 5, 6)، فإن الضرب الداخلي بينهما هو:

u · v = (1)(4) + (2)(5) + (3)(6) = 32

إذا كان u = (2, 3) و v = (1, -1)، فإن الزاوية بينهما هي:

θ = arccos((2)(1) + (3)(-1) / (√(2² + 3²) √(1² + (-1)²))) = 135 درجة

إذا كان u = (1, 0, 0) و v = (0, 1, 0)، فإن هذين المتجهين متعامدين لأن الضرب الداخلي بينهما هو:

u · v = (1)(0) + (0)(1) + (0)(0) = 0

الضرب الداخلي أداة قوية لحل المشاكل في الهندسة والفيزياء. من خلال فهم خصائصه وتطبيقاته، يمكنك استخدامه بفاعلية لحل مجموعة متنوعة من المسائل.